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高中數學必修一知識點總結(全)

發布日期:2021-08-20



第一章集合與函數概念

課時一:集合有關概念

1.集合的含義:集合為一些確定的、不同的東西的全體,人們能意識到這些東西,并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。

2.一般的研究對象統稱為元素,一些元素組成的總體叫集合,簡稱為集。

3.集合的中元素的三個特性:
(1)元素的確定性:集合確定,則一元素是否屬于這個集合是確定的:屬于或不屬于。
例:世界上最高的山、中國古代四大美女、教室里面所有的人……
(2)元素的互異性:一個給定集合中的元素是唯一的,不可重復的。
例:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的,并且改變位置不影響集合
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示:{…} 如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大寫字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。
1)列舉法:將集合中的元素一一列舉出來{a,b,c……}
2)描述法:將集合中元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②Venn圖:畫出一條封閉的曲線,曲線里面表示集合。

4、集合的分類:
(1)有限集:含有有限個元素的集合
(2)無限集:含有無限個元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

5、元素與集合的關系:
(1)元素在集合里,則元素屬于集合,即:a∈A
(2)元素不在集合里,則元素不屬于集合,即:a A
注意:常用數集及其記法:
非負整數集(即自然數集)記作:N
正整數集N*或N+
整數集Z
有理數集Q
實數集R

課時二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集
(1)定義:如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們說這兩個集合有包含關系,稱集合A是集合B的子集。記作:A?B(或B?A)
注意:A?B有兩種可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A與B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A?/B或B?/A

2.“相等”關系:A=B (5≥5,且5≤5,則5=5)
實例:設A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同則兩集合相等”
即:
①任何一個集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A≠B那就說集合A是集合B的真子集,記作A≠B(或B≠A)
或若集合A?B,存在x∈B且x A,則稱集合A是集合B的真子集。
③如果A?B, B?C ,那么A?C
④如果A?B 同時B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集

課時三、集合的運算



課時四:函數的有關概念

1.函數的概念:設A、B是非空的數集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數.記作:y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數的定義域;
(2)與x的值相對應的y值叫做函數值,函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域.

2.函數的三要素:定義域、值域、對應法則

3.函數的表示方法:
(1)解析法:明確函數的定義域
(2)圖想像:確定函數圖像是否連線,函數的圖像可以是連續的曲線、直線、折線、離散的點等等。
(3)列表法:選取的自變量要有代表性,可以反應定義域的特征。

4、函數圖象知識歸納
(1)定義:在平面直角坐標系中,以函數y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標,函數值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數y=f(x),(x ∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數關系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x,y),均在C上 .
(2) 畫法
A、描點法:B、圖象變換法:平移變換;伸縮變換;對稱變換。
(3)函數圖像變換的特點:
1)函數y=f(x) 關于X軸對稱y=-f(x)
2)函數y=f(x) 關于Y軸對稱y=f(-x)
3)函數y=f(x) 關于原點對稱y=-f(-x)

課時五:函數的解析表達式,及函數定義域的求法

1、函數解析式子的求法
(1)、函數的解析式是函數的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數關系時,一是要求出它們之間的對應法則,二是要求出函數的定義域.
(2)、求函數的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系數法:
3)換元法:
4)拼湊法:

2.定義域:能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數不小于零;
(3)對數式的真數必須大于零;
(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等于零,
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

3、相同函數的判斷方法:
①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);
②定義域一致(兩點必須同時具備)

4、區間的概念:
(1)區間的分類:開區間、閉區間、半開半閉區間
(2)無窮區間
(3)區間的數軸表示

課時六:

1.值域: 先考慮其定義域
(1)觀察法:直接觀察函數的圖像或函數的解析式來求函數的值域;
(2)反表示法:針對分式的類型,把Y關于X的函數關系式化成X關于Y的函數關系式,由X的范圍類似求Y的范圍。
(3)配方法:針對二次函數的類型,根據二次函數圖像的性質來確定函數的值域,注意定義域的范圍。
(4)代換法(換元法):作變量代換,針對根式的題型,轉化成二次函數的類型。

課時七:

1.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.
補充:復合函數
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱為f、g的復合函數。
(4)常用的分段函數
1)取整函數:
2)符號函數:
3)含絕對值的函數:

2.映射
一般地,設A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那么就稱對應f:A→B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系):A(原象)→B(象)”
對于映射f:A→B來說,則應滿足:
(1)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中對應的象可以是同一個;
(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。
注意:映射是針對自然界中的所有事物而言的,而函數僅僅是針對數字來說的。所以函數是映射,而映射不一定的函數

課時八函數的單調性(局部性質)及最值

1、增減函數
(1)設函數y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.
(2)如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2 時,都有f(x1)>f(x2),那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
注意:函數的單調性是函數的局部性質;函數的單調性還有單調不增,和單調不減兩種

2、圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性,在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的,減函數的圖象從左到右是下降的.

3、函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法:
(1)任取x1,x2∈D,且x1<x2;
(2)作差f(x1)-f(x2);
(3)變形(通常是因式分解和配方);
(4)定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
(5)下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x),y=f(u)的單調性密切相關,其規律:“同增異減”
注意:函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.

課時九:函數的奇偶性(整體性質)

(1)、偶函數
一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數.
(2)、奇函數
一般地,對于函數f(x)的定義域內的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數.
(3)、具有奇偶性的函數的圖象的特征
偶函數的圖象關于y軸對稱;奇函數的圖象關于原點對稱.
利用定義判斷函數奇偶性的步驟:
(1)首先確定函數的定義域,并判斷其是否關于原點對稱;若是不對稱,則是非奇非偶的函數;若對稱,則進行下面判斷;
(2)確定f(-x)與f(x)的關系;
(3)作出相應結論:
若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函數;
若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函數.
(4)利用奇偶函數的四則運算以及復合函數的奇偶性
1)在公共定義域內,偶函數的加減乘除仍為偶函數;
奇函數的加減仍為奇函數;
奇數個奇函數的乘除認為奇函數;
偶數個奇函數的乘除為偶函數;
一奇一偶的乘積是奇函數;
2)復合函數的奇偶性:一個為偶就為偶,兩個為奇才為奇。
注意:函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關于原點對稱,若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱,
(1)再根據定義判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;
(3)利用定理,或借助函數的圖象判定 .

課時十、函數最值及性質的應用

1、函數的最值
(1)利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(?。┲?br/>(2)利用圖象求函數的最大(?。┲?br/>(3)利用函數單調性的判斷函數的最大(?。┲担?br/>如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增,在區間[b,c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減,在區間[b,c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

2、函數的奇偶性與單調性
奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性;
偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性。

3、判斷含糊單調性時也可以用作商法,過程與作差法類似,區別在于作差法是與0作比較,作商法是與1作比較。

4、絕對值函數求最值,先分段,再通過各段的單調性,或圖像求最值。

5、在判斷函數的奇偶性時候,若已知是奇函數可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定可以判斷函數為奇函數。(高一階段可以利用奇函數f(0)=0)。

課時十四:

1、 指數與指數冪的運算:
復習初中整數指數冪的運算性質:
a m *a n =a m+n
(a m )n =a mn
(a*b)n =a n b n

2、根式的概念:一般地,若a x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. 當n 是奇數時,正數的n 次方根是一個正數,負數的n 次方根是一個負數。此時,a 的n 次方根用符號表示。
當n 為偶數時,正數的n 次方根有兩個,這兩個數互為相反數。此時正數a 的正的n 次方根用符號 表示,負的n 的次方根用符號 表示。正的n 次方根與負的n 次方根可以合并成 (a>0)。
注意:負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作00=n 。
當n 是奇數時,a a n n =,當n 是偶數時,???<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 式子 叫做根式,這里n 叫做根指數,a 叫做被開方數。

3、 分數指數冪


4、 有理數指數米的運算性質


5、無理數指數冪
一般的,無理數指數冪aa(a>0,a是無理數)是一個確定的實數。有理數指數冪的運算性質同樣使用于無理數指數冪。

課時十五:指數函數的性質及其特點(1)

1、指數函數的概念:一般地,函數y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數函數,其中x是自變量,函數的定義域為R.
注意:指數函數的底數的取值范圍,底數不能是負數、零和1.為什么?

2、在同以坐標平面內畫出下列函數的圖像:


課時十六:指數函數的性質及其特點(1)

指數函數的圖象和性質



注意:利用函數的單調性,結合圖像還可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是[ f(a),f(b)] 或 [f(b),f(a)];
(2)若x ≠ 0,則f(x) ≠ 1 ; f(x) 取遍所有正數當且僅當x∈R ;
(3)對于指數函數f(x) = ax(a > 0且a ≠ 1),總有f(1) = a;
(4)當a>1時,若X1<X2 ,則有f(X1)<f(X2)。

二、對數函數

(一)對數



(二)對數的運算性質



(二)對數函數



(三)冥函數



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